Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距為2，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點M，使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值？若存在，求出定值和定點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，運用離心率公式可得a=$\sqrt{2}$，由a，b，c的關系可得b=1，進而得到橢圓方程；
（2）在x軸上假設存在定點M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值．若直線的斜率存在，設AB的斜率為k，F(xiàn)（1，0），由y=k（x-1）代入橢圓方程，運用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標表示，結合恒成立思想，即可得到定點和定值；檢驗直線AB的斜率不存在時，也成立．

解答 解：（1）由題意可得2c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得c=1，a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）在x軸上假設存在定點M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值．
若直線的斜率存在，設AB的斜率為k，F(xiàn)（1，0），
由y=k（x-1）代入橢圓方程x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂+1-（x₁+x₂）]
=k²（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+1-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）=-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂
=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+m²-m•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-2+（2{m}^{2}-4m+1）{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
欲使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值，則2m²-4m+1=2（m²-2），
解得m=$\frac{5}{4}$，
此時$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$\frac{25}{16}$-2=-$\frac{7}{16}$；
當AB斜率不存在時，令x=1，代入橢圓方程，可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由M（$\frac{5}{4}$，0），可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$-$\frac{7}{16}$，符合題意．
故在x軸上存在定點M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值-$\frac{7}{16}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式，考查存在性問題的解法，注意運用分類討論的思想方法和聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．