【題目】如圖，已知橢圓，點(diǎn)是它的右端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、為圓上不重合的兩點(diǎn)，的平分線總是垂直于軸，且存在實(shí)數(shù)，使得，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先求出的值，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先由已知條件得出直線和直線的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出實(shí)數(shù)的表達(dá)式，再利用基本不等式可求出的最大值．

（1）依題意可知，，.

又，，是等腰直角三角形，，.又點(diǎn)在橢圓上，，，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）如下圖所示：

對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)、，的平分線總是垂直于軸，

與所在直線關(guān)于直線對(duì)稱.

設(shè)，則，

則直線的方程為，①

直線的方程為，②

將①代入，得.③

在橢圓上，是方程③的一個(gè)根，，

以替換，得到.

，，

易知，，，，則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

因此，實(shí)數(shù)的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面多邊形中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形為等腰梯形，為的中點(diǎn), ,現(xiàn)將梯形沿折疊，使平面平面.

（1）求證：面；

（2）求與平面成角的正弦值.

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【題目】在①；②；③ 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.

在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.

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【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年，中華人民共和國成立70周年，為了慶祝建國70周年，某中學(xué)在全校進(jìn)行了一次愛國主義知識(shí)競賽，共1000名學(xué)生參加，答對(duì)題數(shù)（共60題）分布如下表所示：

組別

頻數(shù)

10

185

265

400

115

25

答對(duì)題數(shù)近似服從正態(tài)分布，為這1000人答對(duì)題數(shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.

（1）估計(jì)答對(duì)題數(shù)在內(nèi)的人數(shù)（精確到整數(shù)位）.

（2）學(xué)校為此次參加競賽的學(xué)生制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：每名同學(xué)可以獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)品的價(jià)值與對(duì)應(yīng)的概率如下表所示.

獲得獎(jiǎng)品的價(jià)值（單位：元）

0

10

20

概率

用（單位：元）表示學(xué)生甲參與抽獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)品的價(jià)值，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中）.

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（2）當(dāng)，時(shí)，

①求函數(shù)的極值；

②設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線為，求在軸上的截距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某便利店計(jì)劃每天購進(jìn)某品牌鮮奶若干件，便利店每銷售一瓶鮮奶可獲利元；若供大于求，剩余鮮奶全部退回，但每瓶鮮奶虧損元；若供不應(yīng)求，則便利店可從外調(diào)劑，此時(shí)每瓶調(diào)劑品可獲利元.

（1）若便利店一天購進(jìn)鮮奶瓶，求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天鮮奶需求量（單位：瓶，）的函數(shù)解析式；

（2）便利店記錄了天該鮮奶的日需求量（單位：瓶，）整理得下表：

日需求量

頻數(shù)

若便利店一天購進(jìn)瓶該鮮奶，以天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓（）與圓：在第一象限相交于點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)，都在圓上，且線段為圓的直徑.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值，并求出這個(gè)定值.

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