Question

點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=2，AC=2

2

，若四面體ABCD體積的最大值為

4

3

，則該球的表面積為（　　）

• A、

  16π

  3

• B、8π
• C、9π
• D、12π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專(zhuān)題：計(jì)算題,球

分析：根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答：解：根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為

1

3

×S_△ABC×DQ=

4

3

，
S_△ABC=

1

2

AC•BQ=

1

2

×2

2

×

2

即

1

3

×

1

2

×

2

×2

2

×DQ=

4

3

，∴DQ=2，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=（

2

）²+（2-R）²，∴R=

3

2

則這個(gè)球的表面積為：S=4π（

3

2

）²=9π；
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．