Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|，a＞0
（1）若a=1時，判斷f（x）的奇偶性；
（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=a-

3

4

在區(qū)間[1，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求f（-1）=-2，f（1）=0，所以根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義便知函數(shù)f（x）此時非奇非偶；
（2）去絕對值，然后根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）可畫出f（x）的圖象，根據(jù)圖象便容易求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=1，f（x）=x|x-1|；
f（-1）=-2，f（1）=0；
∴f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（2）f（x）=x|x-a|=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

；
∵a＞0，∴x²-ax在[a，+∞）上單調(diào)遞增；
-x²+ax在[

a

2

，a)上單調(diào)遞減，在（-∞，

a

2

）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

a

2

），[a，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為[

a

2

，a）；
（3）f（x）的圖象如下圖所示：
由圖象知，符合題意的a應(yīng)滿足：
1＜

a

2

＜2，或1＜a＜2，即2＜a＜4，或1＜a＜2；
①當(dāng)2＜a＜4時，則

a- 3 4 ≥f(1)=a-1 a- 3 4 ≥f(2)=2a-4 a- 3 4 ＜f( a 2 )= a2 4

；
解得3＜a≤

13

4

；
②當(dāng)1＜a＜2時，則

a- 3 4 ＞0 a- 3 4 ≤f(1)=a-1 a- 3 4 ≤f(2)=4-2a

；
解得a∈∅；
∴綜上得a的取值范圍為（3，

13

4

]．

點評：考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及判斷方法，處理含絕對值函數(shù)的方法：去絕對值，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．