【題目】已知函數(shù)

(I)求函數(shù)在點(1,0)處的切線方程;

(II)設(shè)實數(shù)k使得f(x)< kx恒成立,求k的范圍;

(III)設(shè)函數(shù),求函數(shù)h(x)在區(qū)間上的零點個數(shù).

【答案】;(;(Ⅲ)見解析。

【解析】分析I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(II)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為恒成立求解.令,可求得函數(shù)的最大值為,進(jìn)而可得結(jié)論.(III)由分離參數(shù)可得,借助(II)中的結(jié)論并結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法可得函數(shù)零點的個數(shù).

詳解:(I),

,

,

∴所求切線方程為,

(II)由題意得恒成立等價于恒成立.

,則,

當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時,有最大值,且最大值為,

∴實數(shù)k的范圍是

(III)由,即,

,

函數(shù)h(x)在區(qū)間上的零點個數(shù)即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上的公共點的個數(shù).

由(II)得函數(shù)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,且的最大值為,

,

∴當(dāng)或者時,函數(shù)0個零點;

當(dāng)或者時,函數(shù)1個零點;

當(dāng)時,函數(shù)2個零點.

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②相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

③函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),若滿足,則方程在區(qū)間上一定有實根.

④“二分法”對連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點都有效.

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上市時間

市場價

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(2)利用你選取的函數(shù),求遼寧號航母紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格;

(3)設(shè)你選取的函數(shù)為,若對任意實數(shù),關(guān)于的方程恒有個想異實數(shù)根,求的取值范圍.

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