Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得S_n=a_m，則稱{a_n}是“H數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ（n∈N^*），證明：{a_n}是“H數(shù)列”；
（2）設(shè){a_n}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a₁=1，公差d＜0．若{a_n}是“H數(shù)列”，求d的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，由此能證明數(shù)列{a_n}是“H數(shù)列”．
（2）依題意，a_n=1+（n-1）d，Sn=n+

n(n-1)d

2

，若{a_n}是“H數(shù)列”，則1+（k-1）d=n+

n(n-1)d

2

，由此能求出d的值．

解答： （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（3分）
所以an=

2，n=1 2n-1，n≥2

，（4分）
所以對任意的n∈N^*，Sn=2n是數(shù)列{a_n}中的第n+1項(xiàng)，（5分）
因此數(shù)列{a_n}是“H數(shù)列”．
（2）解：依題意，a_n=1+（n-1）d，Sn=n+

n(n-1)d

2

，（7分）
若{a_n}是“H數(shù)列”，則對任意的n∈N^*，都存在k∈N^*使得a_k=S_n，
即1+（k-1）d=n+

n(n-1)d

2

，（9分）
所以k=

n-1

d

+

n(n-1)

2

，（10分）
又因?yàn)閗∈N^*，

n(n-1)

2

∈N，
所以對任意的n∈N^*，

n-1

d

∈Z，且d＜0，（12分）
所以d=-1．（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列{a_n}是“H數(shù)列”的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的合理運(yùn)用．