Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足；對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（Ⅱ）若是上的有界函數(shù)，且的上界為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，求函數(shù)在上的上界的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（3，+∞），不是有界函數(shù)．（Ⅱ）﹣5≤a≤1；（Ⅲ）當(dāng)時，T的取值范圍是；當(dāng)時，T的取值范圍是[，）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，易知f（x）在（0，+∞）上遞增，有f（x）＞f（0）＝3，再由給出的定義判斷；

（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上是以3為上界的函數(shù)，得到|1+2x+4x|≤3，換元以后得到關(guān)于t的不等式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出對稱軸，求出a的范圍．

（Ⅲ）據(jù)題意先研究函數(shù)g（x）在[0，1]上的單調(diào)性，確定函數(shù)g（x）的范圍，即分別求的最大值和最小值，根據(jù)上界的定義，T不小于最大值，從而解決．．

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，

因?yàn)?/span>f（x）在（0，+∞）上遞增，所以f（x）＞f（0）＝3，

即f（x）在（0，+∞）的值域?yàn)椋?/span>3，+∞）故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立

所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函數(shù)．

（Ⅱ）由已知函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上是以3為上界的函數(shù)，即：|1+a2x+4x|≤3

設(shè)t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化為|1+at+t2|≤3

當(dāng)0時，1且2+a≤3得﹣2≤a＜0

當(dāng)或

即a≤﹣2或a≥0時，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1

綜上有﹣5≤a≤1

（Ⅲ），

∵m＞0，x∈[0，1]

∴g（x）在[0，1]上遞減，

∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

①當(dāng)，即時，，

此時，

②當(dāng)，即時，，

此時，

綜上所述，當(dāng)時，T的取值范圍是；

當(dāng)時，T的取值范圍是[，）