【題目】設(shè)直線l1 , l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1 , P2處的切線,l1與l2垂直相交于點(diǎn)P,且l1 , l2分別與y軸相交于點(diǎn)A,B,則△PAB的面積的取值范圍是( 。
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
【答案】A
【解析】解:設(shè)P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)(0<x1<1<x2),當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)= ,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)= ,∴l(xiāng)1的斜率 ,l2的斜率 ,
∵l1與l2垂直,且x2>x1>0,
∴ ,即x1x2=1.直線l1: ,l2: .
取x=0分別得到A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2),
|AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2.
聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x= ,∴ |AB||xP|= = .∵函數(shù)y=x+ 在(0,1)上為減函數(shù),且0<x1<1,∴ ,則 ,∴ .
∴△PAB的面積的取值范圍是(0,1).
故選:A.
設(shè)出點(diǎn)P1 , P2的坐標(biāo),求出原分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到直線l1與l2的斜率,由兩直線垂直求得P1 , P2的橫坐標(biāo)的乘積為1,再分別寫出兩直線的點(diǎn)斜式方程,求得A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),得到|AB|,聯(lián)立兩直線方程求得P的橫坐標(biāo),然后代入三角形面積公式,利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍;本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬中檔題.
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【題目】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1 , a14=b4 .
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an+bn , 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
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【題目】已知函數(shù),其圖象與x軸交于兩點(diǎn),且.
(1)證明: ;
(2)證明: ;(其中為的導(dǎo)函數(shù))
(3)設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上,且△ABC為等邊三角形,記,求的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象;
(2)求出函數(shù)f(x)(x>0)的解析式;
(3)若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中a>0且a≠1,若a=時(shí)方程f(x)=b有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______;若f(x)的值域?yàn)?/span>[3,+∞],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
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【題目】如圖,在圓錐PO中,已知,圓O的直徑,C是弧AB的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).
(1)求異面直線PD和BC所成的角的正切值;
(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.
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