【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,求函數(shù)f(x2+1)的最小值.
【答案】
【解析】
設(shè)f(x)=ax2+bx+c,a≠0,推導(dǎo)出f(0)=c=2,2ax-a+b=2x+1,從而f(x)=x2+2x+2,由此能求出函數(shù)f(x2+1)的最小值.
解:∵二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,
∴設(shè)f(x)=ax2+bx+c,a≠0,
∴f(0)=c=2.
ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1.
∴2ax-a+b=2x+1,
∴,解得,
∴f(x)=x2+2x+2,
令t=x2+1,則t≥1.
函數(shù)f(x2+1)即為f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1,
又f(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.
∴f(t)min=f(1)=5,
∴函數(shù)f(x2+1)的最小值為5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃購買1臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖:
記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù).
(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺都購買19個(gè)易損零件,或每臺都購買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)還是20個(gè)易損零件?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】試比較nn+1與(n+1)n(n∈N*)的大小,分別取n=1,2,3,4,5加以試驗(yàn),根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果猜測一個(gè)一般性結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx﹣x+1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),1< <x;
(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1+(c﹣1)x>cx .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A=log23log316,B=10sin210°,若不等式Acos2x-3mcosx+B≤0對任意的x∈R都成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1 , 直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線l1 , l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1 , P2處的切線,l1與l2垂直相交于點(diǎn)P,且l1 , l2分別與y軸相交于點(diǎn)A,B,則△PAB的面積的取值范圍是( 。
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
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