Question

己知函數(shù)在處的切線斜率為.
（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，對(duì)使得恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：.

Answer 1

（1）；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）      （3）證明見(jiàn)解析

試題分析：（1）由及處的切線斜率為，可得，即可求得，故，由及即可求得的單調(diào)區(qū)間；
（2）由，，使得恒成立，只須，由（1）可求得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240603086461968.png" style="vertical-align:middle;" />，故只須，即可求得.
（3）要證明,
只須證，即證，由（1）易知，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，，即，故當(dāng)時(shí)，，，進(jìn)而再利用裂項(xiàng)放縮，即可證明結(jié)果成立.
試題解析：（1）由已知：，∴由題知，解得；
于是，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1），，即的最大值為，
由題知：對(duì)，，使得恒成立，
只須，
，
∴只須，解得．
（3）要證明．
只須證，
只須證．
由（1）當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
，即，∴當(dāng)時(shí)，，
，

．