如圖所示,一個(gè)半圓和長方形組成的鐵皮,長方形的邊為半圓的直徑,為半圓的圓心,,,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)等腰三角形,其底邊.
(1)設(shè),求三角形鐵皮的面積;
(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.
(1)三角形鐵皮的面積為;(2)剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.
解析試題分析:(1)利用銳角三角函數(shù)求出和的長度,然后以為底邊、以為高,利用三角形面積公式求出三角形的面積;(2)設(shè),以銳角為自變量將和的長度表示出來,并利用面積公式求出三角形的面積的表達(dá)式,利用與之間的關(guān)系,令將三角形的面積的表達(dá)式表示為以為自變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出三角形的面積的最大值,但是要注意自變量的取值范圍作為新函數(shù)的定義域.
試題解析:(1)由題意知,
,
,
,即三角形鐵皮的面積為;
(2)設(shè),則,,
,
,
令,由于,所以,
則有,所以,
且,所以,
故,
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
故當(dāng)時(shí),取最大值,即,
即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.
考點(diǎn):1.三角形的面積;2.三角函數(shù)的最值;3.二次函數(shù)的最值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
張林在李明的農(nóng)場附近建了一個(gè)小型工廠,由于工廠生產(chǎn)須占用農(nóng)場的部分資源,因此李明每年向張林索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入.工廠在不賠付農(nóng)場的情況下,工廠的年利潤(元)與年產(chǎn)量(噸)滿足函數(shù)關(guān)系.若工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場元(以下稱為賠付價(jià)格).
(Ⅰ)將工廠的年利潤(元)表示為年產(chǎn)量(噸)的函數(shù),并求出工廠獲得最大利潤的年產(chǎn)量;
(Ⅱ)若農(nóng)場每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額(元),在工廠按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下,農(nóng)場要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向張林的工廠要求賠付價(jià)格是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,當(dāng)時(shí),.
(1)證明:;
(2)若成立,請(qǐng)先求出的值,并利用值的特點(diǎn)求出函數(shù)的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)若在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),方程有實(shí)根,求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知某公司生產(chǎn)品牌服裝的年固定成本是10萬元,每生產(chǎn)千件,須另投入2 7萬元,設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且
(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲利潤最大?(注:年利潤=年銷售收入 年總成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)1千件該產(chǎn)品需另投入2.7萬元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,且
(Ⅰ)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一產(chǎn)品的產(chǎn)銷過程中所獲利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的定義域和值域均為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對(duì)任意的,總有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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