【題目】已知函數(shù), ,

(1)若,且在其定義域上存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù), ,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)、,過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)分別交 于點(diǎn)、,證明: 在點(diǎn)處的切線(xiàn)與在點(diǎn)處的切線(xiàn)不平行.

【答案】(1);(2);(3)見(jiàn)解析

【解析】分析:第一問(wèn)將代入,求得的解析式,函數(shù)在定義域上存在單調(diào)遞減區(qū)間,等價(jià)于導(dǎo)數(shù)有正解結(jié)合二次函數(shù)圖像求得結(jié)果,第二問(wèn)恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來(lái)處理,第三問(wèn)假設(shè)存在,最后推出矛盾,從而得結(jié)果.

詳解:(1),

因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以有正解.

法1:因為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)

,∴,∴

法2: 有正解,∴,∴

(2)

.

, ,于是

當(dāng)時(shí), , 在區(qū)間是減函數(shù),

當(dāng)時(shí), , 在區(qū)間是增函數(shù).

所以時(shí)取得最小值, ,

因?yàn)?/span>恒成立,所以,

,∴,∴,

,易知關(guān)于上單調(diào)遞增,又 ,∴.

(3)證法一.設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是, ,不妨設(shè).

則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為

在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為

在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為.

假設(shè)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行,則.

,則

所以.設(shè),則, .①

.則.

因?yàn)?/span>時(shí), ,所以上單調(diào)遞增,故.

.這與①矛盾,假設(shè)不成立.

在點(diǎn)處的切線(xiàn)與在點(diǎn)處的切線(xiàn)不平行.

證法二:同證法一得.

因?yàn)?/span>,所以.

,得, .②

, ,則.

因?yàn)?/span>,所以時(shí), .

上單調(diào)遞增,從而,即.

于是上單調(diào)遞增.

,即.這與②矛盾,假設(shè)不成立.

故點(diǎn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與在點(diǎn)處的切線(xiàn)不平行.

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