Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x．若對(duì)任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后將不等式f（x+a）≥f²（x）化簡，對(duì)a進(jìn)行討論，將x解出來，做到參數(shù)分離，由恒成立思想，即可求出a的范圍．

解答： 解：由題意，f(x)=

2x，(x≥0) ( 1 2 )x，(x＜0)

（4分）
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，即有2^x+a≥2^2x，x≤a，不合                        （6分）
（2）當(dāng)a+2≤0時(shí)，即有(

1

2

)x+a≥(

1

2

)2x，x≥a，恒成立，a≤-2符合                 （8分）
（3）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，若x+a＞0，則a+2≥-a，a≥-1由（1）得不合
若x＜0由（2）得成立，則x+a＜0，x＞0時(shí)恒成立，即(

1

2

)x+a≥22x，x≤-

a

3

，
∴a+2≤-

a

3

，a≤-

3

2

，∴-2＜a≤-

3

2

（14分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍a≤-

3

2

（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，求出函數(shù)在定義域上的解析式是解題的關(guān)鍵，考查解決恒成立問題的常用方法：參數(shù)分離，必須掌握．