Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，解不等式f（x）＜0；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x∈（1，+∞），直線y=k（x-1）恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方．求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線l的方程；
（2）解對(duì)數(shù)不等式求得即可；
（3）由題意得問(wèn)題等價(jià)于k＜

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，令g（x）=

x+xlnx

x-1

，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1），當(dāng)a=1時(shí)．f（x）=x+xlnx．∴f′（x）=2+lnx，
∴f′（1）=2，f（1）=1，
∴切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1…（2分）
（2）∵f（x）=ax+xlnx，又函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f（x）＜0?a+lnx＜0，∴x∈（0，e^-a）…（4分）
（3）由a=1時(shí)，對(duì)x∈（1，+∞）時(shí)，直線y=k（x-1）恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方得，
問(wèn)題等價(jià)于k＜

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立．…（5分）
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，∴g′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，
令h（x）=x-2-lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
由于h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0
所以存在x₀∈（3，4），使得h（x₀）=x₀-2-lnx₀=0．
則x∈（1，x₀）時(shí)，h（x）＜0；x∈（x₀，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
即x∈（1，x₀）時(shí)，g'（x）＜0；x∈（x₀，+∞）時(shí)，g'（x）＞0
知g（x）在（1，x₀）遞減，（x₀，+∞）遞增…（10分）
又g（x₀）＜g（3）=

3

2

(ln3+1)＜g（4）=2+2ln4，所以k_max=3．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)切線方程、單調(diào)性、最值等性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．