Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，由求得極值點(diǎn)，對(duì)分類討論，即可得出單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．

（2）由（1）知，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則最小值 ，利用換元法令，，即，可知為方程的兩個(gè)根．構(gòu)造函數(shù)，則為的兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足．可得．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明。

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，令，得

①當(dāng)時(shí)，若則，即

若，則，即．

②當(dāng)時(shí)，若，則，即

若，則，即．

綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）證明：由（1）知，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

∴．

令，

則

∴為方程的兩個(gè)根．

令，則為的兩個(gè)零點(diǎn)，．

∴

令，則．

∴在上單調(diào)遞增

∴

∴，即．

∵

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

∵

∴

∴

∴