【題目】已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)P(-2,2)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)P為A、B的中點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;
(2)求|AF||BF|的最小值.
【答案】(1)x+y=0;(2)
【解析】
(1)解法1:利用平方差法,求得直線的斜率,即可求解直線的方程;
解法2:設(shè)l的方程為y=k(x+2)+2,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得,即可求解直線的方程.
(2)解法1:由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,得到|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1,聯(lián)立方程組,利用方程的根和系數(shù)的關(guān)系,代入即可求解;
解法2:由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,化簡(jiǎn)|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1,利用拋物線的性質(zhì),即可求解.
(1)解法1:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),,
顯然x1≠x2,兩式相減得,∴k=-1,
所以直線AB的方程為y-2=-(x+2).即x+y=0.
解法2:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),顯然直線l有斜率,
設(shè)l的方程為y=k(x+2)+2,
聯(lián)立方程,消去x整理得y2-4(k2+k+1)y+4(k+1)2=0,
由解得k=-1(k=0明顯不成立),
所以直線AB的方程為y-2=-(x+2).即x+y=0.
(2)解法1:顯然直線l有斜率,設(shè)l的方程為y=k(x+2)+2
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
聯(lián)立方程,消去x整理得y2-4(k2+k+1)y+4(k+1)2=0,
∴,,
所以,
所以當(dāng)時(shí),|AF||BF|取得最小值,且最小值為.
解法2:由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
,
由(1)知x1x2=-8(k+1),得,y1+y2=k(x1+x2+4)+4=4k(k+1)+4,
所以
所以當(dāng)時(shí),|AF||BF|取得最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在五邊形AEBCD中,,C,,,(如圖).將△ABE沿AB折起,使平面ABE⊥平面ABCD,線段AB的中點(diǎn)為O(如圖).
(1)求證:平面ABE⊥平面DOE;
(2)求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大小.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,底面ABCD,,,E、F分別是PC和AB的中點(diǎn).
(1)證明:平面PAD;
(2)若,求PD與平面PBC所成角的正弦值.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2﹣2bx+8.
(1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={2,3,4,5},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率?
(2)設(shè)集合P=[1,3]和Q[2,5],分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次調(diào)查中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)閱讀量有如下關(guān)系:同學(xué)甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同,同學(xué)甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和,丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和.那么這四名同學(xué)按閱讀量從大到小的排序依次為________.
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【題目】為推動(dòng)更多人閱讀,聯(lián)合國(guó)教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人,無論你是年老還是年輕,無論你是貧窮還是富裕,都能享受閱讀的樂趣,都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)的思想大師們,都能保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán).為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式,某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了200名居民,經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3:1,將這200人按年齡分組,其中統(tǒng)計(jì)通過電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示,
(1)求a的值及通過電子閱讀的居民的平均年鹼;
(2)把年齡在第1,2,3組的居民稱為青少年組,年齡在第4,5組的居民稱為中老年組,若選出的200人中通過紙質(zhì)閱讀的中老年有30人,請(qǐng)完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為閱讀方式與年齡有關(guān)?
參考公式:.
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【題目】如圖,△ABC為正三角形,且BC=CD=2,CD⊥BC,將△ABC沿BC翻折.
(1)當(dāng)AD=2時(shí),求證:平面ABD⊥平面BCD;
(2)若點(diǎn)A的射影在△BCD內(nèi),且直線AB與平面ACD所成角為60°,求AD的長(zhǎng).
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【題目】已知橢圓的離心率,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3
(1)求橢圓的方程;
(2)已知P為直角坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn),動(dòng)直線l:與橢圓交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時(shí),若直線PA與PB的斜率之和為與t無關(guān)的常數(shù),求出所有滿足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo).
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