【題目】如圖, , 為中點(diǎn),且平面, .已知.
(1)求直線(xiàn)與所成角;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)由且平面,建立以為原點(diǎn), 為軸正方向, 為軸正方向, 為軸正方向的空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù),得出與,從而可求出直線(xiàn)與所成角;(2)分別求出平面和平面的一個(gè)法向量,求出兩法向量所成角的余弦值,可得二面角的余弦值.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>且平面,則以為原點(diǎn), 為軸正方向, 為軸正方向, 為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
∵
∴, , , , , ,且, .
∴, .
∴和的夾角為.
(2)平面的法向量,設(shè)平面的法向量.
由, 且, ,
得,則,解得,
取,則.
∵二面角為銳二面角,記為
∴.
點(diǎn)晴:本題主要考查利用空間向量求二面角,利用空間向量求異面直線(xiàn)所成的角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀(guān)察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),正半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線(xiàn)和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程,并指明曲線(xiàn)的形狀;
(2)設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知多面體ABC﹣A1B1C1中,AA1,BB1,CC1均垂直于平面ABC,AB⊥AC,AA1=4,CC1=1,AB=AC=BB1=2.
(Ⅰ)求證:A1C⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:x0∈(1,+∞),使得5+|x0|=6.q:x∈(0,+∞),+81x≥a.
(1)若a=9,判斷命題¬p,p∨q,(¬p)∧(¬q)的真假,并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)命題r:x0∈R,x02+2x0+a-9≤0判斷r成立是q成立的什么條件,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)().
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以OM為直徑且截直線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線(xiàn)與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N,證明線(xiàn)段ON的長(zhǎng)為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著,是“算經(jīng)十書(shū)”中最重要的一種。在其第七章中有如下問(wèn)題:“今有蒲生一日,長(zhǎng)三尺,莞生一日,長(zhǎng)一尺,蒲生日自半,莞生日自倍,問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等?”意思是植物蒲發(fā)芽的第一天長(zhǎng)高三尺,植物莞發(fā)芽的第一天長(zhǎng)高一尺。蒲從第二天開(kāi)始每天生長(zhǎng)速度是前一天的一半,莞從第二天開(kāi)始每天生長(zhǎng)速度為前一天的兩倍。問(wèn)這兩種植物在何時(shí)高度相同?
在此問(wèn)題中,蒲和莞高度相同的時(shí)刻在( )
A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),若以點(diǎn)為圓心的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)均為4,求證:圓恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,,分別是棱,的中點(diǎn),為棱上一點(diǎn),且平面.
(1)證明:為中點(diǎn);
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形中, , 與交于點(diǎn),現(xiàn)將沿折起得到三棱錐, , 分別是, 的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)若三棱錐的最大體積為,當(dāng)三棱錐的體積為,且二面角為銳角時(shí),求二面角的正弦值.
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