【題目】如圖,已知多面體ABC﹣A1B1C1中,AA1,BB1,CC1均垂直于平面ABC,AB⊥AC,AA1=4,CC1=1,AB=AC=BB1=2.
(Ⅰ)求證:A1C⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出,,的坐標(biāo),利用數(shù)量積來確定,,從而得證。
(Ⅱ)求得平面的一個(gè)法向量坐標(biāo),再利用數(shù)量積求得平面的一個(gè)法向量坐標(biāo),利用向量夾角公式即可求得二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值.
以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,.
(Ⅰ)證明:,,
∵ ,
,
所以,.
∵,
∴平面.
(Ⅱ)由題意可知,平面,平面,
∴
又∵,,
∴平面.
∴平面的一個(gè)法向量為.
∵,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為 ,
則,取,
所以平面的一個(gè)法向量為
∴.
顯然二面角為銳二面角,
∴二面角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若對于曲線上任意點(diǎn)處的切線,總存在上處的切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知直線與曲線交于, 兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 、是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知不等式。
(1) 若對于所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立,求m的取值范圍;
(2) 設(shè)不等式對于滿足的一切m的值都成立,求x的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn),則的最大值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)E到點(diǎn)A與點(diǎn)B的直線斜率之積為,點(diǎn)E的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)過點(diǎn)D作直線l與曲線C交于, 兩點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進(jìn)行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖的的值;
(2)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.
(3)估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).
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