【題目】已知函數(shù).
(1)證明:;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值和的最小值.
【答案】(1)證明見解析(2)的最大值為,的最小值為1
【解析】
(1)當(dāng)時(shí),對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)可以求出函數(shù)的最小值,利用奇偶性再進(jìn)行判斷即可;
(2)化簡(jiǎn),不等式可以轉(zhuǎn)化為:,,令,求導(dǎo),根據(jù)的不同取值,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,最后分類討論進(jìn)行求解即可.
(1)當(dāng)時(shí),,,
當(dāng)時(shí),,則,
當(dāng)時(shí),,則,
則當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù),,
又函數(shù)為偶函數(shù),則對(duì)任意,成立,
(2),
當(dāng)時(shí),,即為,
,即為,
令,則,
當(dāng)時(shí),在上,,在上為增函數(shù),;
當(dāng)時(shí),在上,,在上為減函數(shù),;
當(dāng)時(shí),存在唯一的,使得,
與在區(qū)間上的情況如下:
+ | 0 | - | |
增 | 極大值 | 減 |
在區(qū)間上是增函數(shù),,
進(jìn)一步,當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng),
可得.
綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),在上恒成立;
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),在上恒成立,
所以的最大值為,的最小值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足:
對(duì)于任意,都有成立.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②設(shè)數(shù)列,問:數(shù)列中是否存在三項(xiàng),使得它們構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出這三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的組委會(huì)為了搞好接待工作,招募了30名男志愿者和20名女志愿者.調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些志愿者中有部分志愿者喜愛運(yùn)動(dòng),另一部分志愿者不喜歡運(yùn)動(dòng),并得到了如下等高條形圖和列聯(lián)表:
喜愛運(yùn)動(dòng) | 不喜愛運(yùn)動(dòng) | 總計(jì) | |
男生 | 30 | ||
女生 | 20 | ||
總計(jì) | 50 |
(1)求出列聯(lián)表中的值;
(2)是否有的把握認(rèn)為喜愛運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?附:參考公式和數(shù)據(jù):,(其中)
0.500 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
0.455 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:
(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();
(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:
(i)得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于則只有1次:
(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下:
贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元) | 10 | 20 |
概率 |
現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列.附:,若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的焦距為,斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)為,且直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過左焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn) 為橢圓上一點(diǎn),且滿足,問:是否為定值?若是,求出此定值,若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.
(1)判斷點(diǎn)是否在直線上?說明理由;
(2)設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心,求點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)斜率為正的直線交橢圓于,兩點(diǎn).,是橢圓上相異的兩點(diǎn),滿足,分別平分,.則外接圓半徑的最小值為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在上的函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若、、滿足,則稱比更接近.當(dāng),試比較和哪個(gè)更接近,并說明理由.
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