【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列滿足:

對于任意,都有成立.

①求數(shù)列的通項公式;

②設(shè)數(shù)列,問:數(shù)列中是否存在三項,使得它們構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出這三項;若不存在,請說明理由.

【答案】(1),.(2)①,.②見解析.

【解析】分析:(1)當(dāng)時,類比寫出,兩式相減整理得,當(dāng)時,求得從而求得數(shù)列的通項公式.;

(2)①將代入已知條件,用與(1)相似的方法,變換求出數(shù)列的通項公式;

②由的通項公式分析,得…,假設(shè)存在三項,成等差數(shù)列,且,,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,化簡得,將代入已知條件,即可得到結(jié)論.

詳解:解:(1)由

,

由①-②得,即

對①取得,,所以,所以為常數(shù),

所以為等比數(shù)列,首項為1,公比為,即,.

(2)①由,可得對于任意

,

,

由③-⑤得,

對③取得,也適合上式,

因此.

②由(1)(2)可知

,

所以當(dāng)時,,即

當(dāng)時,,即上單調(diào)遞減,

…,

假設(shè)存在三項,,成等差數(shù)列,其中,,

由于,可不妨設(shè),則(*),

,

因為,,,則,

由數(shù)列的單調(diào)性可知,,即,

因為,所以,

,化簡得,

,所以,

當(dāng)時,,即,由時,,此時,,不構(gòu)成等差數(shù)列,不合題意,

當(dāng)時,由題意,即,又,代入(*)式得

因為數(shù)列上單調(diào)遞減,且,所以

綜上所述,數(shù)列中存在三項,,,構(gòu)成等差數(shù)列.

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