Question

設函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）試判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）試判斷函數f（x）在R上的單調性，并說明理由．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的單調性及單調區(qū)間

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）運用奇偶性的定義，首先判斷定義域是否關于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較即可判斷其偶性；
（2）對a討論，分a＞1，0＜a＜1，結合指數函數的單調性和單調性的性質即可判斷．

解答： 解：（1）函數f（x）為奇函數．
理由如下：f（x）的定義域為R，關于原點對稱，
f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
則f（x）為奇函數；
（2）當a＞1時，在R上，y=a^x遞增，y=a^-x遞減，
則f（x）=a^x-a^-x在R上遞增；
當0＜a＜1時，在R上，y=a^x遞減，y=a^-x遞增，
則f（x）=a^x-a^-x在R上遞減．
綜上，a＞1時f（x）為R上的增函數；0＜a＜1時，f（x）為R上的減函數．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．