Question

惠州市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓練都從中任意取出2個球，用完后放回．
（1）設第一次訓練時取到的新球個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望；
（2）已知第一次訓練時用過的球放回后都當作舊球，求第二次訓練時恰好取到1個新球的概率．
參考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A與事件B互斥）．
獨立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A與事件B相互獨立）．
條件概率公式：P(B|A)=

P(AB)

P(A)

．

Answer 1

考點：條件概率與獨立事件,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，設“第一次訓練時取到i個新球（即ξ=i）”為事件A_i（i=0，1，2），求出相應的概率，可得ξ的分布列與數學期望；
（2）設“從6個球中任意取出2個球，恰好取到一個新球”為事件B，則“第二次訓練時恰好取到一個新球”就是事件A₀B+A₁B+A₂B．而事件A₀B、A₁B、A₂B互斥，由此可得結論．

解答： 解：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2                
設“第一次訓練時取到i個新球（即ξ=i）”為事件A_i（i=0，1，2）．
因為集訓前共有6個籃球，其中3個是新球，3個是舊球，
所以P（A₀）=P（ξ=0）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

；P（A₁）=P（ξ=1）=

C 1 3 C 1 3

C 2 6

=

3

5

；P（A₂）=P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

ξ的數學期望為Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．    
（2）設“從6個球中任意取出2個球，恰好取到一個新球”為事件B，
則“第二次訓練時恰好取到一個新球”就是事件A₀B+A₁B+A₂B，而事件A₀B、A₁B、A₂B互斥，
所以P（A₀B+A₁B+A₂B）=P（A₀B）+P（A₁B）+P（A₂B）=

1

5

×

C 1 3 C 1 3

C 2 6

+

3

5

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

+

1

5

×

C 1 5

C 2 6

=

38

75

． 
所以第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為

38

75

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定變量的取值，求出概率是關鍵．