Question

設(shè)α，β，γ是銳角，且tan

α

2

=tan³

r

2

，tanβ=

1

2

tanγ，求證：α+γ=2β．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：證明題,三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得tanβ=

1

2

tanγ=

tan γ 2

1-tan2 γ 2

=

tanγ(1+tan2 γ 2 )

(1-tan2 γ 2 )(1+tan2 γ 2 )

=

tan γ 2 +tan α 2

1-tan γ 2 tan α 2

=tan

γ+α

2

，再分析角的范圍可得β=

γ+α

2

，即有α+γ=2β．

解答： 證明：∵tanβ=

1

2

tanγ=

tan γ 2

1-tan2 γ 2

=

tanγ(1+tan2 γ 2 )

(1-tan2 γ 2 )(1+tan2 γ 2 )

=

tan γ 2 +tan α 2

1-tan γ 2 tan α 2

=tan

γ+α

2

∵α，β，γ是銳角，
∴

γ+α

2

也是銳角，
∴β=

γ+α

2

，即有α+γ=2β．

點(diǎn)評：本題主要考查了二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．