為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題,我們分三步研究:
(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,數(shù)學公式數(shù)學公式,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點坐標;
(2)觀察分析上述結果得到研究結論;(3)對得到的結論進行證明.

解:(1)y=2x+1與其反函數(shù)的交點坐標為(-1,-1);…(1分)與其反函數(shù)的交點坐標為(0,0),(1,1);…(3分)與其反函數(shù)y=x2-1(x≤0)的交點坐標為.…(6分)
(2)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點關于直線y=x對稱,但不一定在直線y=x上. …(10分)
(3)設點(a,b)是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點,由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關于直線y=x對稱,
則點(b,a)也是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點,且有b=f(a),a=f(b).…(12分)
①若a=b,交點顯然在直線y=x上.…(13分)
②若a<b且f(x)是增函數(shù)時,有f(b)<f(a),從而有b<a,與a<b矛盾;若b<a且f(x)是增函數(shù)
時,有f(a)<f(b),從而有a<b,與b<a矛盾.…(15分)
③若a<b且f(x)是減函數(shù)時,有f(b)<f(a),從而有a<b成立,此時交點不在直線y=x上;
同理,若b<a且f(x)是減函數(shù)時,交點也不在直線y=x上.…(17分)
綜上,若函數(shù)f(x)是增函數(shù),且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點,則交點一定在直線y=x上;若
函數(shù)f(x)是減函數(shù),且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點,則交點不一定在直線y=x上. (18分)
分析:(1)分別求出函數(shù)y=2x+1,,的反函數(shù),然后求出與對應函數(shù)的交點坐標即可;
(2)根據(jù)交點坐標觀察發(fā)現(xiàn)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點關于直線y=x對稱,但不一定在直線y=x上;
(3)設點(a,b)是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點,由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關于直線y=x對稱,則點(b,a)也是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點,討論a、b的大小和函數(shù)的單調性可得結論.
點評:本小題主要考查反函數(shù),互為反函數(shù)圖象的交點等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題,我們分三步研究:
(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,y=
2x
x+1
,y=-
x+1
,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點坐標;
(2)觀察分析上述結果得到研究結論;(3)對得到的結論進行證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•崇文區(qū)一模)為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題,我們可以分三步進行研究:
(I)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,y=
2x
x+1
,y=-
x+1

求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標:y=2x+1與其反函數(shù)y=
x-1
2
的交點坐標為(-1,-1)y=
2x
x+1
與其反函數(shù)y=
x
2-x
的交點坐標為(0,0),(1,1)y=-
x+1
與其反函數(shù)y=x2-1,(x≤0)的交點坐標為(
1-
5
2
,
1-
5
2
),(-1,0),(0,-1)
(II)觀察分析上述結果得到研究結論;
(III)對得到的結論進行證明.現(xiàn)在,請你完成(II)和(III).

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科目:高中數(shù)學 來源:上海市進才中學2008屆高三月考(三)暨期中考試理科數(shù)學試題 題型:044

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題,我們分三步研究:

(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,,,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點坐標;

(2)觀察分析上述結果得到研究結論;

(3)對得到的結論進行證明.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題,我們分三步研究:
(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,y=
2x
x+1
,y=-
x+1
,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點坐標;
(2)觀察分析上述結果得到研究結論;(3)對得到的結論進行證明.

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