Question

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個(gè)課題，我們分三步研究：
（1）首先選取如下函數(shù)：y=2x+1，y=

2x

x+1

，y=-

x+1

，分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；（3）對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：（1）分別求出函數(shù)y=2x+1，y=

2x

x+1

，y=-

x+1

的反函數(shù)，然后求出與對(duì)應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)觀察發(fā)現(xiàn)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，但不一定在直線y=x上；
（3）設(shè)點(diǎn)（a，b）是f（x）的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則點(diǎn)（b，a）也是f（x）的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，討論a、b的大小和函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論．

解答：解：（1）y=2x+1與其反函數(shù)y=

x-1

2

的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）；…（1分）y=

2x

x+1

與其反函數(shù)y=

x

2-x

的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（1，1）；…（3分）y=-

x+1

與其反函數(shù)y=x²-1（x≤0）的交點(diǎn)坐標(biāo)為( -1 ， 0 ) ， ( 0 ， -1 ) ， ( 

1- 5

2

 ， 

1- 5

2

 )．…（6分）
（2）原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，但不一定在直線y=x上． …（10分）
（3）設(shè)點(diǎn)（a，b）是f（x）的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
則點(diǎn)（b，a）也是f（x）的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且有b=f（a），a=f（b）．…（12分）
①若a=b，交點(diǎn)顯然在直線y=x上．…（13分）
②若a＜b且f（x）是增函數(shù)時(shí)，有f（b）＜f（a），從而有b＜a，與a＜b矛盾；若b＜a且f（x）是增函數(shù)
時(shí)，有f（a）＜f（b），從而有a＜b，與b＜a矛盾．…（15分）
③若a＜b且f（x）是減函數(shù)時(shí)，有f（b）＜f（a），從而有a＜b成立，此時(shí)交點(diǎn)不在直線y=x上；
同理，若b＜a且f（x）是減函數(shù)時(shí)，交點(diǎn)也不在直線y=x上．…（17分）
綜上，若函數(shù)f（x）是增函數(shù)，且f（x）的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線y=x上；若
函數(shù)f（x）是減函數(shù)，且f（x）的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定在直線y=x上． （18分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查反函數(shù)，互為反函數(shù)圖象的交點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．