為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個(gè)課題,我們分三步研究:
(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,y=
2x
x+1
y=-
x+1
,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;(3)對得到的結(jié)論進(jìn)行證明.
(1)y=2x+1與其反函數(shù)y=
x-1
2
的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1);…(1分)y=
2x
x+1
與其反函數(shù)y=
x
2-x
的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1);…(3分)y=-
x+1
與其反函數(shù)y=x2-1(x≤0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為( -1 , 0 ) , ( 0 , -1 ) , ( 
1-
5
2
 , 
1-
5
2
 )
.…(6分)
(2)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱,但不一定在直線y=x上. …(10分)
(3)設(shè)點(diǎn)(a,b)是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn),由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱,
則點(diǎn)(b,a)也是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn),且有b=f(a),a=f(b).…(12分)
①若a=b,交點(diǎn)顯然在直線y=x上.…(13分)
②若a<b且f(x)是增函數(shù)時(shí),有f(b)<f(a),從而有b<a,與a<b矛盾;若b<a且f(x)是增函數(shù)
時(shí),有f(a)<f(b),從而有a<b,與b<a矛盾.…(15分)
③若a<b且f(x)是減函數(shù)時(shí),有f(b)<f(a),從而有a<b成立,此時(shí)交點(diǎn)不在直線y=x上;
同理,若b<a且f(x)是減函數(shù)時(shí),交點(diǎn)也不在直線y=x上.…(17分)
綜上,若函數(shù)f(x)是增函數(shù),且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)一定在直線y=x上;若
函數(shù)f(x)是減函數(shù),且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)不一定在直線y=x上. (18分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個(gè)課題,我們分三步研究:
(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,y=
2x
x+1
,y=-
x+1
,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;(3)對得到的結(jié)論進(jìn)行證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•崇文區(qū)一模)為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個(gè)課題,我們可以分三步進(jìn)行研究:
(I)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,y=
2x
x+1
,y=-
x+1

求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo):y=2x+1與其反函數(shù)y=
x-1
2
的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)y=
2x
x+1
與其反函數(shù)y=
x
2-x
的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1)y=-
x+1
與其反函數(shù)y=x2-1,(x≤0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(
1-
5
2
,
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),(-1,0),(0,-1)
(II)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;
(III)對得到的結(jié)論進(jìn)行證明.現(xiàn)在,請你完成(II)和(III).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海市進(jìn)才中學(xué)2008屆高三月考(三)暨期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型:044

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個(gè)課題,我們分三步研究:

(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,,,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;

(3)對得到的結(jié)論進(jìn)行證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個(gè)課題,我們分三步研究:
(1)首先選取如下函數(shù):y=2x+1,數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;(3)對得到的結(jié)論進(jìn)行證明.

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