Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在[﹣1，1]上的函數(shù)，若對(duì)于任意的x，y∈[﹣1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，

令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），

∴f（0）=0

（2）解：令y=﹣x，則f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

又x∈[﹣1，1]，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴f（x）是奇函數(shù)

（3）解：設(shè)x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0．

∵x＞0時(shí)，有f（x）＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，

又∵f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

即f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)

【解析】（1）根據(jù)題意，用特殊值法，令x=y=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），計(jì)算可得答案；（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=﹣x，可得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），進(jìn)而由（1）的結(jié)論，可得f（﹣x）=﹣f（x），考慮f（x）的定義域，可得答案；（3）設(shè)x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 結(jié)合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），又由題意，x＞0時(shí)，有f（x）＞0，可得f（x2）＞f（x1），即可得證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．