Question

【題目】甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲,由于計算錯誤,在A,B兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克,實(shí)際要求兩個噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的,現(xiàn)在只有兩個能容納1千克藥水的藥瓶,他們從A,B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水,將A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,這樣操作進(jìn)行了n次后,A噴霧器中藥水的濃度為an%,B噴霧器中藥水的濃度為bn%.

(1)證明an+bn是一個常數(shù)；

(2)求an與an-1的關(guān)系式；

(3)求an的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) an=an-1+；(3) an=3()n+9.

【解析】

(1)顯然不論如何操作,兩種農(nóng)藥中含有的溶質(zhì)是不變的,這是問題的實(shí)際應(yīng)用;(2)建立第n-1次操作后兩種藥水的濃度和第n次操作后A噴霧器中藥水濃度的關(guān)系式;(3)利用(1)(2)的結(jié)果求解遞推數(shù)列.

(1)開始時,A中含有10×12%=1.2千克的農(nóng)藥,B中含有10×6%=0.6千克的農(nóng)藥,n次操作后,A中含有10×an%=0.1an千克的農(nóng)藥,B中含有10×bn%=0.1bn千克的農(nóng)藥,它們的和應(yīng)與開始時農(nóng)藥的質(zhì)量和相等,從而有0.1an+0.1bn=1.2+0.6,所以an+bn=18(常數(shù))；

(2)第n次操作后,A中10千克藥水中農(nóng)藥的質(zhì)量具有關(guān)系式:9×an-1+1×bn-1=10an,

由(1)知bn-1=18-an-1,代入化簡得an=an-1+.

(3)令an+λ=(an-1+λ),利用待定系數(shù)法可求出

λ=-9,

所以an-9=(an-1-9),可知數(shù)列{an-9}是以a1-9為首項,為公比的等比數(shù)列,

由an=an-1+得,a1=×12+==11.4,

由等比數(shù)列的通項公式知:

an-9=(a1-9)()n-1=2.4()n-1=()n-1

=3()n,

所以an=3()n+9.