Question

已知函數(shù)，．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且．
（1）求的取值范圍；
（2）證明隨著的減小而增大；
（3）證明隨著的減小而增大．

Answer 1

（1）的取值范圍是；（2）詳見試題分析；（3）詳見試題分析．

解析試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分和討論的單調(diào)性，將“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下條件同時(shí)成立：“1°；2°存在，滿足；3°存在，滿足”，解相應(yīng)的不等式即可求得的取值范圍；（2）由分離出參數(shù)：．利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性即可得： ，從而；類似可得．又由，得，最終證得隨著的減小而增大；（3）由，，可得，，作差得．設(shè)，則，且解得，，可求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來證明隨著的減小而增大．
（1）由，可得．下面分兩種情況討論：
（1）時(shí)，在上恒成立，可得在上單調(diào)遞增，不合題意．
（2）時(shí)，由，得．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

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