Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則稱函數(shù)是上的函數(shù)，已知函數(shù)具有性質(zhì)：（,）對(duì)任意的實(shí)數(shù)（）都成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

（1）試判斷函數(shù)（且）是否是上的函數(shù)，說(shuō)明理由；

（2）求證：是上的函數(shù)，并求的最大值（其中、、是△三個(gè)內(nèi)角）；

（3）若定義域?yàn)?/span>，

① 是奇函數(shù)，證明：不是上的函數(shù)；

② 最小正周期為，證明：不是上的函數(shù).

Answer 1

【答案】（1），是S函數(shù)；，不是S函數(shù)；（2）見(jiàn)解析，最大值；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用S函數(shù)的定義證明當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不是上的函數(shù). 當(dāng)a大于1時(shí)，不是上的函數(shù).（2）利用S函數(shù)的定義證明是上的函數(shù)，并利用S函數(shù)的性質(zhì)求的最大值.(3)利用舉反例證明.

任取,

當(dāng)

同理可證，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不是上的函數(shù).

(2),

,

,

所以是上的函數(shù).

由S函數(shù)的性質(zhì)有

所以

（3）用舉反例證明，

令f(x)=sinx,

所以f(x)=sinx是R上的周期為π的奇函數(shù)，

取

所以

而

即在R上，f(x)=sinx不是S函數(shù)，故原命題得證.