【題目】設(shè)直線與直線分別與橢圓交于點,且四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點的動直線與橢圓相交于,兩點,是否存在經(jīng)過原點,且以為直徑的圓?若有,請求出圓的方程,若沒有,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在,圓的方程為.
【解析】
(1)根據(jù)兩條直線解析式特征可知直線與直線關(guān)于坐標軸對稱,則為矩形,將與橢圓方程聯(lián)立,表示出交點的橫縱坐標,即可由四邊形的面積確定參數(shù),求得橢圓的方程;
(2)設(shè)直線的方程,兩個交點坐標.聯(lián)立橢圓方程后化簡,用韋達定理表示出,經(jīng)過原點,且以為直徑的圓滿足,即,由平面向量數(shù)量積的坐標運算代入即可求得斜率.由中點坐標公式即可求得線段中點的坐標,進而求得的值,即可得圓的標準方程.
(1)由題意可知直線與直線關(guān)于坐標軸對稱,所以四邊形為矩形,
則,解得
所以,
解得,
代入橢圓方程可得.
(2)存在.
設(shè),由題意可知直線的斜率必然存在.
直線過點,設(shè)直線的方程為,
則,化簡可得,
所以,
經(jīng)過原點,且以為直徑的圓滿足,即,
則
,
解方程可得,經(jīng)檢驗可知都滿足.
設(shè)線段的中點為.
則
所以,
所以存在滿足條件的圓,圓的方程為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天干地支紀年法源于中國,中國自古便有十天干與十二地支,十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配,排列起來,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”,…,以此類推,排列到“癸酉”后,天于回到“甲”重新開始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新開始,即“丙子”,以此類推已知1949年為“己丑”年,那么到中華人民共和國成立70年時為( )
A.丙酉年B.戊申年C.己申年D.己亥年
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【題目】如圖,點是正方體中的側(cè)面上的一個動點,則下列結(jié)論正確的是( )
A.點存在無數(shù)個位置滿足
B.若正方體的棱長為1,三棱錐的體積最大值為
C.在線段上存在點,使異面直線與所成的角是
D.點存在無數(shù)個位置滿足到直線和直線的距離相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓過橢圓的下頂點及左、右焦點,,過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交于,兩點,線段的中垂線交軸于點且垂足為點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)證明:當直線斜率變化時為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項數(shù)列滿足: , .為數(shù)列的前項和.
(Ⅰ)求證:對任意正整數(shù),有;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對任意,總存在正整數(shù),使得時, .
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【題目】已知橢圓右焦點與拋物線的焦點重合,以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程
(2)若直線與y軸交點為P,A、B是橢圓上兩個動點,它們在y軸兩側(cè),,的平分線與y軸重合,則直線AB是否過定點,若過定點,求這個定點坐標,若不過定點說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,且過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若為坐標原點,為直線上的一動點,過點作直線與橢圓相切于點,若的面積為,求直線的方程.
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