【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),,,已知是以為底邊,且邊平行于軸的等腰三角形.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)已知直線交軸于點(diǎn),且與曲線相切于點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,且直線軸,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),試判斷點(diǎn)、、三點(diǎn)是否共線,并說明理由.
【答案】(1);(2)、、三點(diǎn)共線,理由見解析.
【解析】
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),由軸可得,由題意可得出,由此可得出關(guān)于、的等式,化簡可得出軌跡的方程,由點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),、、三點(diǎn)共線可得出,由此可得出軌跡的方程;
(2)可知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,由得出,求出、的坐標(biāo),利用直線、的斜率相等可得出、、三點(diǎn)共線.
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),因?yàn)?/span>軸,所以與直線垂直,則,
是以為底邊的等腰直角三角形,故,
即,即,化簡得.
因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),、、三點(diǎn)共線,無法構(gòu)成三角形,
因此,動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為;
(2)、、三點(diǎn)共線,理由如下:
因?yàn)橹本與曲線相切,所以直線的斜率必存在且不為零,設(shè)直線的方程為,
由,消得,,得.
所以,直線的方程為,
令,得,則點(diǎn),,故,
又由,得,則點(diǎn),
,,,
因此,、、三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,平面四邊形中,為直角,為等邊三角形,現(xiàn)把沿著折起,使得平面與平面垂直,且點(diǎn)M為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若,求直線與平面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)M(a,0),N(0,b),O(0,0),且△OMN的面積為1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A,B是x軸上不同的兩點(diǎn),點(diǎn)A(異于坐標(biāo)原點(diǎn))在橢圓C內(nèi),點(diǎn)B在橢圓C外.若過點(diǎn)B作斜率不為0的直線與C相交于P,Q兩點(diǎn),且滿足∠PAB+∠QAB=180°.證明:點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是2020項(xiàng)的實(shí)數(shù)數(shù)列,中的每一項(xiàng)都不為零,中任意連續(xù)11項(xiàng)的乘積是定值.
①存在滿足條件的數(shù)列,使得其中恰有365個(gè)1;
②不存在滿足條件的數(shù)列,使得其中恰有550個(gè)1.
命題的真假情況為( )
A.①和②都是真命題B.①是真命題,②是假命題
C.②是真命題,①是假命題D.①和②都是假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若當(dāng)時(shí)取得極值,求a的值及的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的離心率為,左焦點(diǎn)到直線的距離為10,圓.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上任意一點(diǎn),為圓的任一直徑,求的取值范圍;
(3)是否存在以橢圓上點(diǎn)為圓心的圓,使得過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,都滿足?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,.以,為鄰邊作平行四邊形,連接和.
(1)求證:平面;
(2)線段上是否存在點(diǎn),使平面與平面垂直?若存在,求出的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,棱的中點(diǎn)為,若光線從點(diǎn)出發(fā),依次經(jīng)三個(gè)側(cè)面,,反射后,落到側(cè)面(不包括邊界),則入射光線與側(cè)面所成角的正切值的范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.
(1)求橢圓的方程;
(2)若圓上存在兩點(diǎn),,橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足:三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的取值范圍.
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