【題目】已知橢圓C1ab0)的離心率為,點Ma0),N0,b),O0,0),且△OMN的面積為1

1)求橢圓C的標準方程;

2)設ABx軸上不同的兩點,點A(異于坐標原點)在橢圓C內,點B在橢圓C外.若過點B作斜率不為0的直線與C相交于P,Q兩點,且滿足∠PAB+QAB180°.證明:點AB的橫坐標之積為定值.

【答案】1y21;(2)見解析

【解析】

1)由題意離心率的值及三角形OMN的面積和ab,c之間的關系求出a,b的值,進而求出橢圓的方程;

2)作點P關于x軸的對稱點,由橢圓的對稱性可知∠PAB=∠AB,∠QBA=∠BA,所以,AQ三點共線,設QA,B的坐標,設直線Q的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,因為∠QBA=∠BA,所以,求出兩條直線的斜率,求出A,B的乘積為定值.

解:(1)由題意可得:,解得:a24b21,

所以橢圓C的標準方程:y21

2)證明:作點P關于x軸的對稱點,由橢圓的對稱性可知,

在橢圓上,且∠PAB=∠AB,∠QBA=∠BA,

因為∠PAB+QAB180°.所以∠AB+QAB180°,

所以,A,Q三點共線,

由題意可知直線Q不與x軸平行或重合,設直線Q的方程為:xty+m,(mt≠0),

聯(lián)立直線與橢圓的方程:,消x可得,

則有y1+y2y1y2,

因為∠QBA=∠BA,所以,即,

所以,

,

解得,

因為,所以,

故點AB橫坐標之積為定值4

練習冊系列答案
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2)由頻率分布直方圖,可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布,其中近似為年平均收入,近似為樣本方差,經(jīng)計算得=6.92,利用該正態(tài)分布,求:

①在扶貧攻堅工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準,則最低年收入標準大約為多少千元?

②為了調研“精準扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨立,問:這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少?

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