Question

如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，現(xiàn)將沿邊折至位置，且平面平面.

(1) 求證：平面平面；
(2) 求二面角的大小.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：(1) 利用直角三角形，先證明折前有,折后這個(gè)垂直關(guān)系沒有改變，然后由平面平面的性質(zhì)證明平面,最后由面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）為方便計(jì)算，不妨設(shè)，先以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a0/2/8ltpw1.png" style="vertical-align:middle;" />軸，以方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d7/d/g56jf1.png" style="vertical-align:middle;" />軸，以與平面向上的法向量同方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/8/7c8jn.png" style="vertical-align:middle;" />軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫給相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，接著計(jì)算出這兩個(gè)法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角的圖形與計(jì)算出的余弦值，確定二面角的大小即可.
試題解析：(1) 證明:由題可知：折前
，這個(gè)垂直關(guān)系，折后沒有改變
故折后有

（2）不妨設(shè)，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a0/2/8ltpw1.png" style="vertical-align:middle;" />軸，以方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d7/d/g56jf1.png" style="vertical-align:middle;" />軸，以與平面向上的法向量同方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/8/7c8jn.png" style="vertical-align:middle;" />軸，建立空間直角坐標(biāo)系            7分

則

設(shè)平面和平面的法向量分別為，
由及可得到即，不妨取
又由及可得到即
不妨取                       9分
              11分
綜上所述，二面角大小為              12分.
考點(diǎn)：1.線線垂直的證明；2. 線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)；3.空間向量在解決空間角中的運(yùn)用問題.