【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).

(1)求證:AE⊥平面PCD;

(2)求PB和平面PAD所成的角的大;

(3)求二面角A-PD-C的正弦值.

【答案】(1)見證明;(2)45°(3)

【解析】

(1)由線面垂直的性質(zhì)可得,結(jié)合,可得平面,由等腰三角形的性質(zhì)可得,從而可得結(jié)果;(2) 先證明平面,可得和平面所成的角,判斷是等腰直角三角形,從而可得結(jié)果;(3)過點(diǎn),垂足為,連接,由(1)知,平面,則在平面內(nèi)的射影是,則可證得,則是二面角的平面角,設(shè),可求得由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD

CD平面ABCD,故CD⊥PA.

因?yàn)镃D⊥AC,PA∩AC=A,

所以CD⊥平面PAC.

又AE平面PAC,所以AE⊥CD.

由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以AE⊥PC.

又PC∩CD=C,

所以AE⊥平面PCD.

(2)因?yàn)镻A⊥底面ABCD,

AB平面ABCD,故PA⊥AB.

又AB⊥AD,PA∩AD=A,

所以AB⊥平面PAD,

故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,從而∠APB為PB和平面PAD所成的角.

在Rt△PAB中,AB=PA,

故∠APB=45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.

(3)過點(diǎn)EEMPD,垂足為M,連接AM,如圖所示.

由(1)知,AE⊥平面PCD,則AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則可證得AMPD.

因此∠AME是二面角APDC的平面角.由已知可得∠CAD=30°.

設(shè)ACa,

可得PAa,ADa,PDa,AEa.

在Rt△ADP中,

因?yàn)?/span>AMPD,

所以AM·PDPA·AD,

AMa.

在Rt△AEM中,

sin∠AME.

所以二面角APDC的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

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(2)當(dāng)隔熱層噴涂厚度為多少毫米時,業(yè)主所付的總費(fèi)用最少?并求此時與不建隔熱層相比較,業(yè)主可節(jié)省多少錢?

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