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【題目】已知數列滿足（），（）．

（1）若，證明：是等比數列；

（2）若存在，使得，，成等差數列．

① 求數列的通項公式；

② 證明：．

【答案】（1）見解析；（2）①，②見解析

【解析】

（1）對兩邊同除以并整理得：，結合即可證得是等比數列，問題得證。

（2）①設，由（1）可得，結合，，成等差數列即可求得，問題得解。

②將轉化成，令，且，即可再轉化成，記（），利用導數即可求得，問題得證。

（1）由，得，得，即，

因為，所以，所以（），

所以是以為首項，2為公比的等比數列．

（2）① 設，由（1）知，， 所以，即，

所以．因為，，成等差數列，

則，所以，所以，

所以，即．

② 要證，

即證，即證．

設，則，且，

從而只需證，當時，． 設（），

則，所以在上單調遞增，

所以，即，因為，所以，

所以，原不等式得證．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（且）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，討論函數在區(qū)間上的最值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線方程是，求函數在上的值域；

（2）當時，記函數，若函數有三個零點，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，點是圓：上的動點，定點，線段的垂直平分線交于，記點的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若動直線：與軌跡交于不同的兩點、，點在軌跡上，且四邊形為平行四邊形.證明：四邊形的面積為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動圓過點，且在軸上截得的弦長為4．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）過點的直線與曲線交于點，，與軸交于點，設，，求證：是定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某大學生參加社會實踐活動，對某公司1月份至6月份銷售某種配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價和銷售量之間的一組數據如下表所示：

月份

1

2

3

4

5

6

銷售單價(元)

9

9.5

10

10.5

11

8

銷售量(件)

11

10

8

6

5

14.2

（1）根據1至5月份的數據，先求出關于的回歸直線方程；6月份的數據作為檢驗數據．若由回歸直線方程得到的預測數據與檢驗數據的誤差不超過，則認為所得到的回歸直線方程是理想的．試問所求得的回歸直線方程是否理想？

（2）預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的回歸關系，如果該種機器配件的成本是元/件，那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤＝銷售收入－成本）．

參考數據：，．

參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為（且）.

（I）求直線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知是直線上的一點，是曲線上的一點， ，，若的最大值為2，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．

(1)求證：AE⊥平面PCD；

(2)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠共有名工人，已知這名工人去年完成的產品數都在區(qū)間（單位：萬件）內，其中每年完成萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成組，第組、第組、第組、第組、第組對應的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值，并求去年優(yōu)秀員工人數；

（2）選取合適的抽樣方法從這名工人中抽取容量為的樣本，求這組分別應抽取的人數；

（3）現(xiàn)從（2）中人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機選取名傳授經驗，求選取的名工人在同一組的概率．

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