Question

【題目】設函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k的值
（2）已知f（1）= ，函數(shù)g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，求g（x）的值域；
（3）在第（2）問的條件下，試問是否存在正整數(shù)λ，使得f（2x）≥λf（x）對任意x∈[﹣ ， ]恒成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R的奇函數(shù)．

∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得：k=1，

故得函數(shù)f（x）=ax﹣a﹣x

（2）解：∵f（1）= ，

可得f（1）= = ，

解得：a=4或a= ，

∵a＞0，

故得：a=4．

∴函數(shù)f（x）=4x﹣4﹣x

∵函數(shù)g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，

∴g（x）=42x+4﹣2x﹣2（4x﹣4﹣x）=（4x﹣4﹣x）2﹣2（4x﹣4﹣x）+2

令t=4x﹣4﹣x，

∵x∈[0，1]，由（1）知t=f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，

∴t∈[0， ]．

那么：g（x）=（4x﹣4﹣x）2﹣2（4x﹣4﹣x）+2轉化為h（t）=t2﹣2t+2，

函數(shù)h（t）圖象開口向上，對稱軸t=1，

∴當 時，h（t）有最大值 ；即函數(shù)g（x）最大值為 ．

當t=1時，h（t）有最小值1，即函數(shù)g（x）最小值為1．

∴函數(shù)g（x）的值域為[1， ]

（3）解：由（2）可得f（2x）=42x﹣4﹣2x=（4x+4﹣x）（4x﹣4﹣x）

∵f（2x）≥λf（x），即為（4x+4﹣x）（4x﹣4﹣x）≥λ（4x﹣4﹣x）．

假設存在滿足條件的正整數(shù)λ，

∵x∈[﹣ ， ]，

①當x=0時，不等式恒成立，

故得：λ∈R．

②當x∈（0， ]時，4x﹣4﹣x＞0，不等式轉化為4x+4﹣x≥λ；

令u=4x，

則：1＜u≤2．

易證：Z= 在（1，2]上是增函數(shù)，其最小值為2．

故得：λ≤2．

③當x∈[﹣ ，0）時，4x﹣4﹣x＜0，不等式轉化為4x+4﹣x≤λ；

令v=4x，

則： ≤v＜1，

易證：Z′= 在[ ，1）上是減函數(shù)，其最大值為 ．

故得：λ≥ ．

綜上所得，λ不存在固定的值．

∴不存在正整數(shù)λ，使得f（2x）≥λf（x）對任意x∈[﹣ ， ]恒成立

【解析】（1）f（x）是定義域為R的奇函數(shù)．f（0）=0，可得k的值．（2）f（1）= ，求出a的值，可得f（x），函數(shù)g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，可求g（x）的值域；（3）假設存在滿足條件的正整數(shù)λ，轉化成不等式問題求解，分類討論其正整數(shù)λ的值即可．
【考點精析】掌握函數(shù)的值域和函數(shù)的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的；利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（小）值．