【題目】已知函數(shù),,其中.
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:對任意的,在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是,;的單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)由,令,解得或,解出不等式和,故而可得單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在內(nèi)遞減,內(nèi)單調(diào)遞增,進(jìn)而分類討論:當(dāng),即時(shí),在遞減,在遞增;當(dāng),即時(shí),在內(nèi)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.利用零點(diǎn)存在定理可證對任意,在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).
試題解析:(1),令,解得或,
∵,∴,
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
+ | - | + | |
↗ | ↘ | ↗ |
所以,的單調(diào)遞增區(qū)間是,;的單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)證明:由(1)可知,在內(nèi)的單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,以下分兩種情況討論:
(ⅰ)當(dāng),即時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減,
,.
所以對任意,在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).
(2)當(dāng),即時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,若,,.
(也可由二次函數(shù)知識證明在上恒大于0)
所以在內(nèi)存在零點(diǎn).
若,,
(也可以利用求導(dǎo)的方法證明在上恒小于0)所以在內(nèi)存在零點(diǎn).
所以,對任意,在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn).
綜上,對任意,在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn),原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值是M,最小值是m,且M=2m,則實(shí)數(shù)a=( )
A.
B.2
C.
且2
D.
或2
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若對于任意x∈R,都有f(x﹣2)≤f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[﹣ , ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)試比較與的大小,并說明理由;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),證明: .
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【題目】某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k、b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是小時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ﹣4,g(x)=kx+3.
(1)當(dāng)a=k=1時(shí),求函數(shù)y=f(x)+g(x)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)a∈[3,4]時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,m]上的最大值為f(m),試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)a∈[1,2]時(shí),若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)對任意x1 , x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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【題目】一個(gè)盒子裝有六張卡片,上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)?/span>的函數(shù):
(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù),求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率;
(2)現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進(jìn)行,求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ﹣ )=1,A,B分別為C與x軸,y軸的交點(diǎn).
(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程,并求A,B的極坐標(biāo);
(2)設(shè)M為曲線C上的一個(gè)動點(diǎn), =λ (λ>0),| || |=2,求動點(diǎn)Q的極坐標(biāo)方程.
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【題目】已知拋物線: ,焦點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(不垂直軸)過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn),直線與的斜率之積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為線段的中點(diǎn),射線交拋物線于點(diǎn),求證: .
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