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【題目】設橢圓，點為其右焦點，過點的直線與橢圓相交于點，.

（1）當點在橢圓上運動時，求線段的中點的軌跡方程；

（2）如圖1，點的坐標為，若點是點關于軸的對稱點，求證：點，，共線；

（3）如圖2，點是直線上的任意一點，設直線，，的斜率分別為，，，求證，，成等差數列.

【答案】（1）； （2）見解析； （3）見解析.

【解析】

（1）設出中點的坐標，利用點的坐標得到點的坐標，將點的坐標代入橢圓方程，化簡得到點的軌跡方程.（2）當斜率存在時，設出直線的方程，代入橢圓橢圓方程化簡后寫出韋達定理，計算，由此證得點，，共線. 當斜率不存在時，由橢圓對稱性,易得結論成立.（3）設出的坐標，利用（2）的結果化簡的表達式，化簡得到結果為，由此證得，，成等差數列.

（1），設，則，在橢圓上，所以所求軌跡方程為.

（2）當斜率存在時，設其方程為：，，

將代入橢圓方程并化簡得

其中，

所以，點，，共線，

而當斜率不存在時，由橢圓對稱性，，重合，結論顯然成立，綜上點，，共線；

（3）設，

由（2）知，

故，，成等差數列.

練習冊系列答案
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【題目】某蔬果經銷商銷售某種蔬果，售價為每公斤25元，成本為每公斤15元.銷售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去，未售出的全部降價以每公斤10元處理完.根據以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）根據頻率分布直方圖計算該種蔬果日需求量的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間中點值代表）；

（2）該經銷商某天購進了250公斤這種蔬果，假設當天的需求量為公斤，利潤為元.求關于的函數關系式，并結合頻率分布直方圖估計利潤不小于1750元的概率.

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（2）理論研究和實踐經驗表明：張角越大，射門命中率就越大．現假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球，運動到視角最大的位置即為最佳射門點，以的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系，求在球場區(qū)域內射門到球門的最佳射門點的軌跡.

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【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足.

（1）求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；

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【題目】設函數．

當時，求的極值；

若的定義域為，判斷是否存在極值若存在，試求a的取值范圍；否則，請說明理由．

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【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發(fā)現成績都在內,現將成績按區(qū)間,,,，進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖．

青年組

中老年組

(1)利用直方圖估計青年組的中位數和老年組的平均數；

(2)從青年組,的分數段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數段的概率．

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【題目】2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區(qū)的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.

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