Question

【題目】設函數.

（1）若直線是函數圖象的一條切線，求實數的值；

（2）若函數在上的最大值為（為自然對數的底數），求實數的值；

（3）若關于的方程有且僅有唯一的實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】試題分析：（1）可設切點坐標，切點坐標滿足函數方程，且有．解方程組可得的值；（2）函數求導后，對分類討論原函數的單調性，求得函數的最大值，建立關于的方程，解得值；（3）對原方程進行配湊可得 ，構造函數方程在上有且僅有唯一實數根，利用一元二次函數根的分布問題可得結果．

試題解析：（1）， ，

設切點橫坐標為，則

消去，得，故，得.

（2）， ， ，

①當時， 在上恒成立， 在上單調遞增，

則 ，得，舍去；

②當時， 在上恒成立， 在上單調遞減，

則 ，得，舍去；

③當時，由，得；由，得.

故在上單調遞增，在上單調遞減，

則 ，得，

設， ，則， ，

當時， ， 單調遞減，

當時， ， 單調遞增，

故， 的解為.

綜上①②③，.

（3）方程可化為：

，

令，故原方程可化為，

由（2）可知在上單調遞增，故有且僅有唯一實數根，即方程（ж）在上有且僅有唯一實數根，

①當，即時，方程（※）的實數根為，滿足題意；

②當，即時，方程（※）有兩個不等實數根，

記為， ，不妨設， ，

Ⅰ）若， ，代入方程（※）得，得或，

當時方程（※）的兩根為0，1，符合題意；

當時方程（※）的兩根為2，-1，不合題意，舍去；

Ⅱ）若， ，設，則，得；

綜合①②，實數的取值范圍為或.