Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點． （Ⅰ）求證；平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC= ，

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．

（ II）解：如圖，以C為原點， 、 、 分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．

設P（0，0，a）（a＞0），則E（ ，﹣ ， ），

=（1，1，0）， =（0，0，a），

=（ ，﹣ ， ），

取 =（1，﹣1，0），則

= =0， 為面PAC的法向量．

設 =（x，y，z）為面EAC的法向量，則 = =0，

即 取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則 =（a，﹣a，﹣2），

依題意，|cos＜ ， ＞|= = = ，則a=1．

于是 =（1，﹣1，﹣2）， =（1，1，﹣1）．

設直線PA與平面EAC所成角為θ，

則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = = ，

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（I）通過證明AC⊥平面PBC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面PBC．（ II）如圖，以C為原點， 、 、 分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，設P（0，0，a）（a＞0），求出面PAC的法向量 =（1，﹣1，0），設 =（x，y，z）為面EAC的法向量，利用 = =0，求出 =（a，﹣a，﹣2），利用向量的數(shù)量積求解，即可得到直線PA與平面EAC所成角的正弦值．