【題目】已知橢圓 的離心率為 ，短軸長為2． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若圓O：x2+y2=1的切線l與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求|OM|的最大值．

【答案】解：（ I）由題意得 ，解得a=2，b=1．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ．

（ II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

若直線l的斜率為0，則l方程為y=±1，此時(shí)直線l與橢圓只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

設(shè)直線l：x=my+t．

∵l與圓O相切，∴ ，即t2=m2+1；

聯(lián)立方程組 ，消去x，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，

則△=4m2t2﹣4（t2﹣4）（m2+4）=16（m2﹣t2+4）=48＞0，

∴ ，∴ ， ，即 ，

∴ ，

設(shè)x=m2+4，則x≥4， ，

∴當(dāng)x=8時(shí)等號(hào)成立，|OM|取得最大值 =


【解析】（I）根據(jù)條件列方程組解出a，b即可得出橢圓的方程；（II）設(shè)直線l方程為x=my+t，聯(lián)立方程組消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出M的坐標(biāo)，根據(jù)距離公式求出|OM|的最值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證；平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《中國詩詞大會(huì)》（第二季）亮點(diǎn)頗多，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計(jì)的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味．若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有（ ）
A.144種
B.288種
C.360種
D.720種

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，四邊形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，將四邊形EBCD沿DE折起至EDC1B1 ， 如圖2．
（Ⅰ） 求證：平面ADE⊥平面AEB1；
（Ⅱ） 若二面角A﹣DE﹣C1的大小為 ，求三棱錐C1﹣AB1D的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）的距離之積等于9的點(diǎn)的軌跡．給出下列命題： ①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的周長有最小值10；
④若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2面積有最大值 ．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共24條，其中與體對(duì)角線AC1垂直的有條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），其中0≤α＜π．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ=4cosθ．直線l與曲線C1相切．
（1）將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求α的值．
（2）已知點(diǎn)Q（2，0），直線l與曲線C2：x2+ =1交于A，B兩點(diǎn)，求△ABQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì)，某物流公司每天的業(yè)務(wù)中，從甲地到乙地的可配送的貨物量X（40≤X＜200，單位：件）的頻率分布直方圖，如圖所示，將頻率視為概率，回答以下問題．
（1）求該物流公司每天從甲地到乙地平均可配送的貨物量；
（2）該物流公司擬購置貨車專門運(yùn)營從甲地到乙地的貨物，一輛貨車每天只能運(yùn)營一趟，每輛車每 趟最多只能裝載40 件貨物，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利1000 元；若未發(fā)車，
則每輛車每天平均虧損200 元．為使該物流公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)的營業(yè)利潤最大，該物流公司應(yīng)該購置幾輛貨
車？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD相交于點(diǎn)F．若AB=2， ，∠BAD=45°，則 =（ ）

A.
B.1
C.﹣
D.1

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