【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=e2x , g(x)=kx+1(k∈R). (Ⅰ)若直線y=g(x)和函數(shù)y=f(x)的圖象相切,求k的值;
(Ⅱ)當(dāng)k>0時(shí),若存在正實(shí)數(shù)m,使對(duì)任意x∈(0,m),都有|f(x)﹣g(x)|>2x恒成立,求k的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)切線的坐標(biāo)為(t,e2t),由f(x)=e2x得f′(x)=2e2x , ∴切線方程為y﹣e2t=2e2t(x﹣t),即y=2e2tx+(1﹣2t)e2t ,
由已知y=2e2tx+(1﹣2t)e2t和y=kx+1為同一條直線,
∴2e2t=k,(1﹣2t)e2t=1,
令h(x)=(1﹣x)ex , 則h′(x)=﹣xex ,
當(dāng)x∈(﹣∞,0)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
∴h(x)≤h(0)=1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,
∴t=0,k=2,
(Ⅱ)①當(dāng)k>2時(shí),由(Ⅰ)知:
存在x>0,使得對(duì)于任意x∈(0,x0),都有f(x)<g(x),
則不等式|f(x)﹣g(x)|>2x等價(jià)于g(x)﹣f(x)>2x,
即(k﹣2)x+1﹣e2x>0,
設(shè)t(x)=(k﹣2)x+1﹣e2x , t′(x)=k﹣2﹣2e2x ,
由t′(x)>0,得:x< ln ,由t′(x)<0,得:x> ln ,
若2<k≤4, ln ≤0,∵(0,x0)( ln ,+∞),
∴t(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,注意到t(0)=0,
∴對(duì)任意x∈(0,x0),t(x)<0,與題設(shè)不符,
若k>4, ln >0,(0, ln )(﹣∞, ln ),
∴t(x)在(0, ln )上單調(diào)遞增,
∵t(0)=0,∴對(duì)任意x∈(0, ln ),t(x)>0,符合題意,
此時(shí)取0<m≤min{x0 , ln },可得對(duì)任意x∈(0,m),都有|f(x)﹣g(x)|>2x,
②當(dāng)0<k≤2時(shí),由(Ⅰ)知e2x﹣(2x+1)≥0,(x>0),
f(x)﹣g(x)=e2x﹣(2x+1)+(2﹣k)x≥(2﹣k)x≥0對(duì)任意x>0都成立,
∴|f(x)﹣g(x)|>2x等價(jià)于e2x﹣(k+2)x﹣1>0,
設(shè)φ(x)=e2x﹣(k+2)x﹣1,則φ′(x)=2e2x﹣(k+2),
由φ′(x)>0,得x> ln >0,φ′(x)<0得x< ln ,
∴φ(x)在(0, ln )上單調(diào)遞減,注意到φ(0)=0,
∴對(duì)任意x∈(0, ln ),φ(x)<0,不符合題設(shè),
綜上所述,k的取值范圍為(4,+∞).
【解析】(Ⅰ)設(shè)切線的坐標(biāo)為(t,e2t),得到(1﹣2t)e2t=1,令h(x)=(1﹣x)ex , 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的值即可;(Ⅱ)通過(guò)討論k的范圍,結(jié)合對(duì)任意x∈(0,m),都有|f(x)﹣g(x)|>2x恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出k的具體范圍即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解人們對(duì)城市治安狀況的滿(mǎn)意度,某部門(mén)對(duì)城市部分居民的“安全感”進(jìn)行調(diào)查,在調(diào)查過(guò)程中讓每個(gè)居民客觀地對(duì)自己目前生活城市的安全感進(jìn)行評(píng)分,并把所得分作為“安全感指數(shù)”,即用區(qū)間[0,100]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示,該數(shù)越接近100表示安全感越高.現(xiàn)隨機(jī)對(duì)該地區(qū)的男、女居民各500人進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示:
安全感指數(shù) | [0,20) | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
男居民人數(shù) | 8 | 16 | 226 | 131 | 119 |
女居民人數(shù) | 12 | 14 | 174 | 122 | 178 |
根據(jù)表格,解答下面的問(wèn)題:
(Ⅰ)估算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值;
(Ⅱ)如果居民安全感指數(shù)不小于60,則認(rèn)為其安全感好.為了進(jìn)一步了解居民的安全感,調(diào)查組又在該地區(qū)隨機(jī)抽取3對(duì)夫妻進(jìn)行調(diào)查,用X表示他們之中安全感好的夫妻(夫妻二人都感到安全)的對(duì)數(shù),求X的分布列及期望(以樣本的頻率作為總體的概率).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】神舟五號(hào)飛船成功完成了第一次載人航天飛行,實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人民的航天夢(mèng)想,某段時(shí)間飛船在太空中運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓,地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,如圖所示,假設(shè)航天員到地球最近距離為d1 , 到地球最遠(yuǎn)距離為d2 , 地球的半徑為R,我們想象存在一個(gè)鏡像地球,其中心在神舟飛船運(yùn)行軌道的另外一個(gè)焦點(diǎn)上,上面住著一個(gè)神仙發(fā)射某種神秘信號(hào)需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球人才能接收到,則神秘信號(hào)傳導(dǎo)的最短距離為( )
A.d1+d2+R
B.d2﹣d1+2R
C.d2+d1﹣2R
D.d1+d2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|3x﹣1|﹣2|x|+2.
(1)解不等式:f(x)<10;
(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,f(x)﹣|x|≤a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,△ABC的面積為S,(a2+b2)tanC=8S,且sinAcosB=2cosAsinB,則cosA= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】公元前3世紀(jì),古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出:“球的體積(V)與它的直徑(d)的立方成正比”,此即V=kd3 , 與此類(lèi)似,我們可以得到: ⑴正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等的四面體)的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=ma3;
⑵正方體的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=na3;
⑶正八面體(所有棱長(zhǎng)都相等的八面體)的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=ta3;
那么m:n:t=( )
A.1:6 :4
B. :12:16
C. :1:
D. :6:4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2﹣ax(a>0,且a≠1),g(x)=f′(x)(其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)).
(1)當(dāng)a=e時(shí),求g(x)的極大值點(diǎn);
(2)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)﹣1(ω>0,|φ|<π)的一個(gè)零點(diǎn)是 , 是y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸,則ω取最小值時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a ,a∈R. (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x≠1時(shí), 恒成立,求a的取值范圍.
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