(2003•上海)如圖,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車(chē)道,車(chē)道總寬22米,要求通行車(chē)輛限高4.5米,隧道全長(zhǎng)2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀.

(1)若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少?

(2)若最大拱高h(yuǎn)不小于6米,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最最小?(半個(gè)橢圓的面積公式為,柱體體積為:底面積乘以高.本題結(jié)果精確到0.1米)

 

(1)33.3米;(2)故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最。

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意,建立坐標(biāo)系,可得P的坐標(biāo)并設(shè)出橢圓的方程,將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程,得,依題意,可得l=2a,計(jì)算可得答案;

(2)根據(jù)題意,設(shè)橢圓方程為,將(11,4.5)代入方程可得,結(jié)合基本不等式可得,分析可得當(dāng)ab≥99且l=2a,h=b時(shí),,進(jìn)而分析可得答案.

【解析】
(1)如圖建立直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)P(11,4.5),

橢圓方程為

將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程,

,

此時(shí)此時(shí)

因此隧道的拱寬約為33.3米;

(2)由橢圓方程,

根據(jù)題意,將(11,4.5)代入方程可得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030909471748359019/SYS201503090947214680310293_DA/SYS201503090947214680310293_DA.010.png">

即ab≥99且l=2a,h=b,

所以

當(dāng)S取最小值時(shí),

,

,

此時(shí),h=b≈6.4

故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最小.

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(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo);

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