(本小題滿分13分).某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計要求容器的體積為立方米,且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元,設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.
(Ⅰ)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)求該容器的建造費(fèi)用最小時的.
(I);
(II)是函數(shù)y的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn)。
(2)當(dāng)時,建造費(fèi)用最小時當(dāng)時,建造費(fèi)用最小時。
解析試題分析:(I)設(shè)容器的容積為V,
由題意知
故
由于
因此…………………………………………………………………….3分
所以建造費(fèi)用
因此………………………………………..5分
(II)由(I)得
由于
當(dāng)
令
所以………………………………….7分
(1)當(dāng)時,
所以是函數(shù)y的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn)。………………….10分
(2)當(dāng)即時,
當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減,
所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn),
綜上所述,當(dāng)時,建造費(fèi)用最小時
當(dāng)時,建造費(fèi)用最小時………………13分
考點(diǎn):本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,幾何體特征及體積計算。
點(diǎn)評:高考題,構(gòu)建函數(shù)關(guān)系、準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,13),圖像關(guān)于直線對稱。
(1)求的解析式。
(2)已知,,
① 若函數(shù)的零點(diǎn)有三個,求實數(shù)的取值范圍;
②求函數(shù)在[,2]上的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分分)
若函數(shù)在定義域內(nèi)某區(qū)間上是增函數(shù),而在上是減函數(shù),
則稱在上是“弱增函數(shù)”
(1)請分別判斷=,在是否是“弱增函數(shù)”,
并簡要說明理由;
(2)證明函數(shù)(是常數(shù)且)在上是“弱增函數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù)(),
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)已知,:關(guān)于的不等式對任意恒成立;
:函數(shù)是增函數(shù).若“或”為真,“且”為假,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,。
(1)求及的值;
(2)求的解析式并畫出簡圖;
(3)寫出的單調(diào)區(qū)間(不用證明)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)
如圖,在半徑為的圓形(為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料,其中點(diǎn)在圓上,點(diǎn)、在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鋁皮卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗),設(shè)矩形的邊長,圓柱的體積為.
(1)寫出體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出定義域;
(2)當(dāng)為何值時,才能使做出的圓柱形罐子體積最大?最大體積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.
(1)判斷函數(shù)是否是有界函數(shù),請寫出詳細(xì)判斷過程;
(2)試證明:設(shè),若在上分別以為上界,
求證:函數(shù)在上以為上界;
(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),
求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池,其容積為4800立方米,深度為3米.池底每平方米的 造價為150元,池壁每平方米的造價為120元.設(shè)池底長方形長為米.
(1)求底面積,并用含的表達(dá)式表示池壁面積;
(2)怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低造價是多少?
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