Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.
（1）判斷函數(shù)是否是有界函數(shù)，請寫出詳細判斷過程；
（2）試證明：設，若在上分別以為上界，
求證：函數(shù)在上以為上界；
（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，
求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）是有界函數(shù)（2）見解析（3）

解析試題分析：（1），當時，
則，由有界函數(shù)定義可知是有界函數(shù)
(2)由題意知對任意，存在常數(shù)，都有成立
即，同理（常數(shù)）
則，即
在上以為上界
(3)由題意知，在上恒成立。
，    
∴  在上恒成立
∴   
設，，，由得 t≥1，
設，，
所以在上遞減，在上遞增，（單調(diào)性不證，不扣分）
在上的最大值為，
在上的最小值為。
所以實數(shù)的取值范圍為
考點：二次函數(shù)求最值及不等式恒成立問題
點評：不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，利用單調(diào)性可求最值