【題目】已知函數(shù) f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,a∈R.
(1)寫(xiě)出函數(shù) f(x)的最小正周期(不必寫(xiě)出過(guò)程);
(2)求函數(shù) f(x)的最大值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),若函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,kπ)(k∈N*)上恰有2015個(gè)零點(diǎn),求k的值.
【答案】(1)最小正周期為π.(2)見(jiàn)解析(3)k=1008.
【解析】
(1)由題意結(jié)合周期函數(shù)的定義直接求解即可;
(2)令,t∈[1,],則當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,易知,分類(lèi)比較、的大小即可得解;
(3)轉(zhuǎn)化條件得當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=0時(shí),f(x)=0,則x∈(0,π]時(shí),f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的周期即可得解.
(1)函數(shù) f(x)的最小正周期為π.
(2)∵f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1
=asin2x﹣1=a(sin2x+1),
令t,t∈[1,],
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
∵即.
∴,
∵,,
∴當(dāng)時(shí),最大值為;當(dāng),最大值為.
(3)當(dāng)a=1時(shí),f(x),
若f(x)=0,則即,
∴當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=0時(shí),f(x)=0,
∴x∈(0,π]時(shí),f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)分別為,π,
∴2015=2×1007+1,
∴k=1008.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,求的值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)的圖象與軸交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若存在x1<x2,且滿(mǎn)足f(x1)=(x2).證明;
(3)證明:(n∈N).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三共有1000位學(xué)生,為了分析某次的數(shù)學(xué)考試成績(jī),采取隨機(jī)抽樣的方法抽取了50位高三學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如圖所示頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) | 3 | 11 | 18 | 12 | 6 |
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算成績(jī)?cè)?/span>的頻率并計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均值(同組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);
(2)用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?/span>和的學(xué)生中共抽取5人,從這5人中任取2人,求成績(jī)?cè)?/span>和中各有1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一種拋硬幣游戲的規(guī)則是:拋擲一枚硬幣,每次正面向上得1分,反面向上得2分.
(1)設(shè)拋擲5次的得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)求恰好得到分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=exsinx,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[,π],證明:f(x)+g(x)(π﹣x)≥0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).
表中,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型?(不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)有位學(xué)生申請(qǐng)、、三所大學(xué)的自主招生.若每位學(xué)生只能申請(qǐng)其中一所大學(xué),且申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的.
(1)求恰有人申請(qǐng)大學(xué)的概率;
(2)求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點(diǎn)在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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