【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時,設(shè),且,證明:.

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】分析:(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),討論a<0,a≥0,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;

(2)方法一、構(gòu)造g(x)=f(x)+2x=3x﹣1﹣ex,求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、最值,再由條件和不等式的性質(zhì),即可得證;

方法二、結(jié)合條件f(x1)+f(x2)=﹣5,構(gòu)造g(x)=ex﹣3x,求得導(dǎo)數(shù)和最值,再由不等式的性質(zhì),即可得證.

詳解:(1)解:

當(dāng)時,,則上單調(diào)遞增.

當(dāng)時,令,得,則的單調(diào)遞增區(qū)間為.

,得,則的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)證明:(法一)設(shè) ,則.

,得;由,得

.

從而.

,∴,

.

,∴,∴

從而.

(法二)∵,∴

.

設(shè),則.

,得;由,得.

.

,

,∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系,將曲線上的每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系, 的極坐標(biāo)方程為

(Ⅰ)求曲線的參數(shù)方程;

(Ⅱ)過原點(diǎn)且關(guān)于軸對稱的兩條直線分別交曲線、,且點(diǎn)在第一象限,當(dāng)四邊形的周長最大時,求直線的普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為調(diào)查期末考試中高一學(xué)生作弊情況,隨機(jī)抽取了200名高一學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,設(shè)計了兩個問題,問題1:你出生月份是奇數(shù)嗎?問題2:期末考試中你作弊了嗎?然后讓受調(diào)查的學(xué)生每人擲一次幣,出現(xiàn)正面朝上則回答問題1,出現(xiàn)反面朝上則回答問題2,答案只能填不能棄權(quán).結(jié)果統(tǒng)計后得到了53的答案,則估計有百分之幾的學(xué)生作弊了?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個端點(diǎn)是等邊三角形的三個頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與軸,軸分別交于點(diǎn),且,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),的延長線交橢圓于點(diǎn),過點(diǎn),分別作軸的垂線,垂足分別為.

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在直線,使得點(diǎn)平分線段?若存在,求出直線的方程,若不存在請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐中,兩兩垂直,,平面平面與棱分別交于三點(diǎn).

(1)過作直線,使得,請寫出作法并加以證明;

(2)若α將三梭錐P﹣ABC分成體積之比為8:19的兩部分(其中,四面體P1A1B1C的體積更小),D為線段B1tC的中點(diǎn),求直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行了分析研究,分別記錄了2016121日至125日每天的晝夜溫差以及實(shí)驗室100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到的數(shù)據(jù)如下表所示:

日期

121

122

123

124

125

溫差x/

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y/

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取兩組,用剩下的三組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.

(1)求選取的兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的兩天數(shù)據(jù)的概率.

(2)若選取的是121日和125日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)122日至124日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程.

(3)由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,據(jù)此說明(2)中所得線性回歸方程是否可靠?并估計當(dāng)溫差為9 ℃時,100顆種子中的發(fā)芽數(shù).

附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為: ,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,關(guān)于“芻童”體積計算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上袤,下袤從之,亦倍下袤,上袤從之,各以其廣乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其計算方法是:將上底面的長乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘,將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相乘;把這兩個數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一.已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形,上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為

A. B. C. 39 D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示:在正方體中,設(shè)直線與平面所成角為,二面角的大小為,則為(

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某籃球運(yùn)動員每次在罰球線投籃投進(jìn)的概率是0.8,且各次投籃的結(jié)果互不影響.

(1)假設(shè)這名運(yùn)動員投籃3次,求恰有2次投進(jìn)的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);

(2)假設(shè)這名運(yùn)動員投籃3次,每次投進(jìn)得1分,未投進(jìn)得0分;在3次投籃中,若有2次連續(xù)投進(jìn),而另外一次未投進(jìn),則額外加1分;若3次全投進(jìn),則額外加3分,記為該籃球運(yùn)動員投籃3次后的總分?jǐn)?shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

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