【題目】2018河南安陽市高三一模如下圖在平面直角坐標(biāo)系,直線與直線之間的陰影部分即為區(qū)域中動點的距離之積為1

)求點的軌跡的方程

)動直線穿過區(qū)域,分別交直線兩點,若直線與軌跡有且只有一個公共點,求證 的面積恒為定值

【答案】;(見解析

【解析】試題分析:

由點到直線距離公式直接把已知表示出來,并化簡可得方程;

直線與軌跡有且只有一個公共點,即直線與軌跡相切,因此可求出當(dāng)垂直(即斜率不存在)時, 面積,當(dāng)斜率存在時,可設(shè)其方程為,與雙曲線方程聯(lián)立方程組,由可得,再設(shè)出,由直線相交可求得(用表示),計算面積可得結(jié)論.

試題解析:

(Ⅰ)由題意得 .

因為點在區(qū)域內(nèi),所以同號,

即點的軌跡的方程為.

(Ⅱ)設(shè)直線軸相交于點當(dāng)直線的斜率不存在時, , ,.

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,顯然,

把直線的方程與聯(lián)立得,

由直線與軌跡有且只有一個公共點,,

,.

設(shè), ,同理,.

所以 .

綜上, 的面積恒為定值2.

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(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑,則凈化時間可達(dá)幾天?

(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑,6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化,試求a的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): 取1.4).

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