【題目】已知函數(shù), ,其中為自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調性.

(Ⅱ)試判斷曲線是否存在公共點并且在公共點處有公切線.若存在,求出公切線的方程若不存在,請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】試題分析:

(1)對函數(shù)求導可得,求解不等式可得上單調遞減,在上單調遞減,在上單調遞增.

(2)假設曲線存在公共點且在公共點處有公切線,由題意可知

,據(jù)此有式即.結合函數(shù), 的性質可知方程上有唯一實數(shù)根,據(jù)此可得曲線的公切線的方程為.

試題解析:

,令.

時, ;當時, .

所以上單調遞減,在上單調遞減,在上單調遞增.

Ⅱ)假設曲線存在公共點且在公共點處有公切線,且切點橫坐標為,則

,即,其中(2)式即.

, ,則,得上單調遞減,在上單調遞增,又, ,故方程上有唯一實數(shù)根,經(jīng)驗證也滿足(1)式.

于是, ,曲線的公切線的方程為,即.

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